Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{8} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2)} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2 \sqrt{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sqrt{2} x^{2}$ đối với $x$ là $2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \sqrt{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 4.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Bước 4.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 4.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Bước 4.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Bước 4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Bước 4.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 4.13

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Bước 4.14

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Bước 4.14.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Bước 4.14.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 4.14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Bước 4.14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Bước 4.14.5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Bước 4.14.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 4.15

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Bước 4.16

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \sqrt{2} x - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.17

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.18

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Bước 4.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.19.3

Viết lại biểu thức.

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \sqrt{2} x - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x \sqrt{2} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$