Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$ ở dạng ${(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - 2 x$ và $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.6.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.13.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 9.13.2

Nhân $\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.13.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (1 + 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) - 2 (1 - 2 x)}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (1 - 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.13.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 ({(1 + 2 x)}^{2})} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.13.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.5

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.6

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{0 - 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.7

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.9

Nhân $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 10.5.10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Bước 10.5.11

Di chuyển ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 10.5.12

Nhân ${(1 + 2 x)}^{2}$ với ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.12.1

Di chuyển ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2})}$

Bước 10.5.12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Bước 10.5.12.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 10.5.12.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 10.5.12.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 10.5.12.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.12.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Bước 10.5.12.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$