Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\tan (x - 5)}{x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \tan (x - 5)$ và $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\tan (x - 5)] - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + 0) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) \cdot 1 - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - 1 \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.3.2

Viết lại $- 1 \sec^{2} (x - 5)$ ở dạng $- \sec^{2} (x - 5)$ .

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$