Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5^{3} \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{4}}$ ở dạng $x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{\frac{4}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 2.2

Chia $4$ cho $2$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 2.3

Vì $125$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $125 x^{2}$ đối với $x$ là $125 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$125 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 2.5

Nhân $2$ với $125$ .

$250 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$250 x + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$250 x + 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$250 x + 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$250 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$250 x + 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 3.10

Nhân $- 2$ với $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{3 x^{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 4.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 4.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 4.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 4.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Bước 4.8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

Bước 4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3} x^{- 4}$

Bước 4.10

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{- 4}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3 x^{- 4}}{3}$

Bước 4.11

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Bước 4.12

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Bước 4.12.2

Viết lại biểu thức.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{1}{x^{4}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$250 x + \frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$250 x - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$