Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 2.3

Nhân ${(7 x - 6)}^{6}$ với $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = 7 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 4.2

Đưa ${(7 x - 6)}^{5}$ ra ngoài ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa ${(7 x - 6)}^{5}$ ra ngoài ${(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 4.2.2

Đưa ${(7 x - 6)}^{5}$ ra ngoài $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 4.2.3

Đưa ${(7 x - 6)}^{5}$ ra ngoài ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Bước 5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa ${(7 x - 6)}^{5}$ ra ngoài ${(7 x - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 7

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 9

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 10

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 11

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $7$ và $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 11.2

Nhân $7$ với $- 6$ .

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 11.3

Trừ $42 x$ khỏi $7 x$ .

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 35 x$ .

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 12.2

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 12.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (35 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 12.4

Viết lại $- (35 x + 6)$ ở dạng $- 1 (35 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Bước 12.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$