Giải tích Ví dụ

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Bước 3

Giả sử $u = - 3 x + 5$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - 3 x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $- 3$ và $0$ .

$- 3$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

Bước 4.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Bước 8.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Bước 8.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Bước 11.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Bước 11.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 x + 5$ .

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$