Giải tích Ví dụ

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 2 x + 3$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x + 3$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Di chuyển ${u_{1}}^{- 0.5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , nên ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 {u_{1}}^{0.5}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Bước 4.1.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Nhân $0.5$ với $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Bước 4.1.4.2

Nhân ${u_{1}}^{- 0.5}$ với $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Bước 4.1.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ ở dạng một tích.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Bước 11

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.1.3.2

Nhân $0.5$ với $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.1.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.2

Để viết $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 16.3

Kết hợp $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Bước 16.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Bước 16.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Bước 16.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Bước 16.6

Nhân $3$ với $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.8.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.8.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Bước 16.10.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Bước 16.11

Kết hợp $- 9$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Bước 16.12

Kết hợp $\frac{- 9}{2}$ và ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Bước 16.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Bước 16.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.14.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{0.5}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.14.1.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{0.5}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Bước 16.14.1.2

Đưa ${(2 x + 3)}^{0.5}$ ra ngoài $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Bước 16.14.1.3

Đưa ${(2 x + 3)}^{0.5}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Bước 16.14.2

Trừ $9$ khỏi $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Bước 16.14.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.14.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Bước 16.14.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Bước 16.14.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Bước 16.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Bước 16.15.2

Chia ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ cho $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Bước 16.16

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Bước 16.17

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Bước 16.18

Sắp xếp lại các thừa số trong ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$