Giải tích Ví dụ

$\tan^{6} (x)$

Bước 1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} d x$

Bước 1.2

Viết lại ${\tan (x)}^{2 (3)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} d x$

Bước 3

Rút gọn.

$\int - 1 + 3 \sec^{2} (x) - 3 \sec^{4} (x) + \sec^{6} (x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d x + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- x + C + 3 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 8

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 9.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 10

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 11

Giả sử $u_{1} = \tan (x)$ . Sau đó $d u_{1} = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{1} = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 11.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int 1 + {u_{1}}^{2} d u_{1} + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (\int d u_{1} + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{3} {u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{1}{3} {u_{1}}^{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 15

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Bước 15.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Viết lại $6$ ở dạng $4$ cộng $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Bước 15.2.2

Viết lại ${\sec (x)}^{4 + 2}$ ở dạng $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 15.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Bước 15.4

Viết lại ${\sec (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Bước 16

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Bước 17

Giả sử $u_{2} = \tan (x)$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 17.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Bước 18

Khai triển ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Viết lại ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int (1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 (1 + {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 18.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 18.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} \cdot 1 + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.5

Sắp xếp lại ${u_{2}}^{2}$ và $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.6

Nhân $1$ với $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.7

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.8

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Bước 18.10

Cộng $2$ và $2$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 18.11

Cộng ${u_{2}}^{2}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 18.12

Sắp xếp lại $2 {u_{2}}^{2}$ và ${u_{2}}^{4}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 18.13

Di chuyển $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Bước 19

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 20

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 21

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 22

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}$

Bước 23

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int d u_{2}$

Bước 24

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C$

Bước 25

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Rút gọn.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} - {u_{1}}^{3} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Để viết $- {u_{1}}^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - {u_{1}}^{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.2

Kết hợp $- {u_{1}}^{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3 + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- 3 {u_{1}}^{3} + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.5

Cộng $- 3 {u_{1}}^{3}$ và $2 {u_{2}}^{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Bước 25.2.7

Cộng $- 3 u_{1}$ và $u_{2}$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Bước 26

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Bước 26.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{\tan^{3} (x)}{3} - 2 \tan (x) + C$

Bước 27

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x + 3 \tan (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) - 2 \tan (x) + C$