Giải tích Ví dụ

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = - x$ . Sau đó $d u_{1} = - d x$ , nên $- d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = - x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Bước 5

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$