Giải tích Ví dụ

$\cos^{3} (2 x) \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{\cos^{3} (u_{1})}{2}$ và $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Đưa $\cos^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7

Nhân $(1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 8.2

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với ${u_{2}}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Bước 8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Bước 8.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1}) - \frac{1}{5} \sin^{5} (u_{1})) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (2 x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (2 x)) + C$