Giải tích Ví dụ

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Bước 1

Trừ $\sin (x)$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Bước 3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 3.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 5

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 5.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 6.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 6.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 6.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất $2 π n$ và $π + 2 π n$ để $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 10.1.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Bước 10.1.3

Vế trái $0.90929742$ lớn hơn vế phải $0.84147098$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{π}{3} < x < π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{π}{3} < x < π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 10.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Bước 10.2.3

Vế trái $- 0.75680249$ nhỏ hơn vế phải $0.90929742$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $π < x < \frac{5 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $π < x < \frac{5 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 10.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Bước 10.3.3

Vế trái $0.98935824$ lớn hơn vế phải $- 0.75680249$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 10.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Bước 10.4.3

Vế trái $- 0.53657291$ nhỏ hơn vế phải $- 0.27941549$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 7$

Bước 10.5.2

Thay thế $x$ bằng $7$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Bước 10.5.3

Vế trái $0.99060735$ lớn hơn vế phải $0.65698659$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 10.6

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 9$

Bước 10.6.2

Thay thế $x$ bằng $9$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Bước 10.6.3

Vế trái $- 0.75098724$ nhỏ hơn vế phải $0.41211848$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 10.7

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < π$ Sai

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Sai

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Đúng

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Sai

$0 < x < \frac{π}{3}$ Đúng

$\frac{π}{3} < x < π$ Sai

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Đúng

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Sai

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Đúng

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Sai

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Bước 12

Kết hợp các khoảng.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

Bước 14