Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Bước 2.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Bước 2.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Bước 2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Bước 2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Bước 2.3.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Bước 2.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Bước 2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Bước 2.3.10

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Bước 2.3.11

Di chuyển $y^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.4.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Bước 5.2.2.2

Chia $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ cho $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Bước 5.2.3.2

Chia $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ cho $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $3 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.4.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.4.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ và $y^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$