Giải tích Ví dụ

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (e^{x y}) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{4 x} - e^{5 y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{5 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{5 y}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{5 y}]$ .

$4 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{5 y}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 y$ .

$4 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 y])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 y])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 y$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} \frac{d}{d x} [5 y])$

Bước 3.3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 e^{4 x} - (e^{5 y} (5 y'))$

Bước 3.3.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$4 e^{4 x} - 5 e^{5 y} y'$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = - 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = - 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 5 e^{5 y} y' + 4 e^{4 x}$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = - 5 y' e^{5 y} + 4 e^{4 x}$

Bước 5.3

Cộng $5 y' e^{5 y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x}$

Bước 5.4

Trừ $y e^{x y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' e^{x y} + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Bước 5.5

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{x y} + 5 y' e^{5 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{x y}$ .

$y' (x e^{x y}) + 5 y' e^{5 y} = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Bước 5.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $5 y' e^{5 y}$ .

$y' (x e^{x y}) + y' (5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Bước 5.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x e^{x y}) + y' (5 e^{5 y})$ .

$y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$

Bước 5.6

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$ cho $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y}) = 4 e^{4 x} - y e^{x y}$ cho $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ .

$\frac{y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y})}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x e^{x y} + 5 e^{5 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x e^{x y} + 5 e^{5 y})}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Bước 5.6.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 e^{4 x}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Bước 5.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{4 e^{4 x} - y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x} - y e^{x y}}{x e^{x y} + 5 e^{5 y}}$