Giải tích Ví dụ

$\cos^{2} (x y) = x + y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.7

Nhân $y$ với $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

Bước 2.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

Bước 5.3.2.2

Sắp xếp lại $2 y$ và $\cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

Bước 5.3.2.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

Bước 5.3.2.4

Sắp xếp lại $\cos (x y)$ và $\sin (x y) \cdot 2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

Bước 5.3.2.5

Sắp xếp lại $\sin (x y)$ và $2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

Bước 5.3.2.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

Bước 5.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $1 + \sin (2 x y) y$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ cho $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ cho $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Bước 5.5.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

Bước 5.5.3.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

Bước 5.5.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Bước 5.5.3.5

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.5.1

Viết lại $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Bước 5.5.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$