Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.2.8

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.5

Nhân $y^{2}$ với $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.8

Trừ $2 y y'$ khỏi $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3.9

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Bước 2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Bước 2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Bước 2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Bước 2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Bước 2.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $\frac{2}{x^{3}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Bước 5.2.2.2

Chia $\frac{2 y'}{y^{3}}$ cho $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ ở dạng $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Bước 5.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Bước 5.4.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ cho $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ vào tử số.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.5.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.5.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Bước 5.5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$