Giải tích Ví dụ

$x e^{y} - 6 y = 3 x + 18 - 2 e^{- 2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - 6 y) = \frac{d}{d x} (3 x + 18 - 2 e^{- 2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{y} - 6 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.2.5

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- 6 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 y$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 6 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - 6 y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 18 - 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 18 - 2 \frac{1}{e^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.4

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \frac{1}{e^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$3 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{- 2}{e^{2}}]$

Bước 3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{e^{2}}]$

Bước 3.5.3

Vì $- \frac{2}{e^{2}}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{2}{e^{2}}$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0 + 0$

Bước 3.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$3 + 0$

Bước 3.6.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x e^{y} y' + e^{y} - 6 y' = 3$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x e^{y} y' + e^{y} - 6 y'$ .

$x y' e^{y} + e^{y} - 6 y' = 3$

Bước 5.2

Trừ $e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' e^{y} - 6 y' = 3 - e^{y}$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{y} - 6 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) - 6 y' = 3 - e^{y}$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 6 y'$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot - 6 = 3 - e^{y}$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x e^{y}) + y' \cdot - 6$ .

$y' (x e^{y} - 6) = 3 - e^{y}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{y} - 6) = 3 - e^{y}$ cho $x e^{y} - 6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x e^{y} - 6) = 3 - e^{y}$ cho $x e^{y} - 6$ .

$\frac{y' (x e^{y} - 6)}{x e^{y} - 6} = \frac{3}{x e^{y} - 6} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - 6}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x e^{y} - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x e^{y} - 6)}{x e^{y} - 6} = \frac{3}{x e^{y} - 6} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - 6}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3}{x e^{y} - 6} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - 6}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{3 - e^{y}}{x e^{y} - 6}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - e^{y}}{x e^{y} - 6}$