Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Bước 1.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 1.4

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 1.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Bước 1.5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Bước 1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Sau đó $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 2.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 2.1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 2.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 2.1.3.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.1.3.9

Kết hợp $9$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.1.3.10

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.3.11

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.3.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Bước 2.1.3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.3.12.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$