Giải tích Ví dụ

$y = {(x + 1)}^{x + 1}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{x + 1})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại ${(x + 1)}^{x + 1}$ ở dạng $e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}]$

Bước 3.1.2

Khai triển $\ln ({(x + 1)}^{x + 1})$ bằng cách di chuyển $x + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{(x + 1) \ln (x + 1)}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $(x + 1) \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $(x + 1) \ln (x + 1)$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5.4.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + 0))$

Bước 3.5.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

Bước 3.5.8.2

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1))$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$