Giải tích Ví dụ

$\ln (x y) + 8 x = 25$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 8 x) = \frac{d}{d x} (25)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x y) + 8 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 8$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 8$

Bước 2.4.2.2

Kết hợp $\frac{x}{x y}$ và $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Bước 2.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Bước 2.4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Bước 2.4.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Bước 2.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Bước 2.4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8$

Bước 3

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8 = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y} + 8 = - \frac{1}{x}$

Bước 5.1.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 8$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $(- \frac{1}{x} - 8) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = - \frac{1}{x} y - 8 y$

Bước 5.3.2.1.2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 8 y$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 8 y$