Giải tích Ví dụ

$\ln (4 y) = 5 x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (4 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 y$ .

$\frac{1}{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 y}$ .

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$5 (x y' + y)$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x y' + 5 y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} = 5 x y' + 5 y$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = (5 x y' + 5 y) y$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $(5 x y' + 5 y) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = 5 x y' y + 5 y \cdot y$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 (y \cdot y)$

Bước 5.2.2.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 y^{2}$

Bước 5.2.2.1.3

Di chuyển $x$ .

$y' = 5 y' x y + 5 y^{2}$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $5 y' x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - 5 y' x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y' x y = 5 y^{2}$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y' x y$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 x y) = 5 y^{2}$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 5 x y)$ .

$y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ cho $1 - 5 x y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ cho $1 - 5 x y$ .

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 5 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$