Giải tích Ví dụ

$y^{2} = \ln (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y'$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' = \frac{1}{x}$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{1}{x}$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = \frac{1}{x}$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{x}}{2 y}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{x}}{2 y}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{x}}{2 y}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{x}}{2 y}$

Bước 5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{2 y}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 y}$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{1}{x (2 y)}$

Bước 5.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y' = \frac{1}{2 x y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y}$