Giải tích Ví dụ

$3 (x^{2} + y^{2}) = 100 (x^{2} - y^{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (3 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 (x^{2} + y^{2})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 (2 x + 2 y y')$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (2 x) + 3 (2 y y')$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + 3 (2 y y')$

Bước 2.4.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + 6 y y'$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 y y' + 6 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $100$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $100 (x^{2} - y^{2})$ đối với $x$ là $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Bước 3.1.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $2$ với $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Bước 3.5.2.2

Nhân $- 2$ với $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 200 y y' + 200 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 y y' + 6 x = - 200 y y' + 200 x$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Cộng $200 y y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 y y' + 6 x + 200 y y' = 200 x$

Bước 5.1.2

Cộng $6 y y'$ và $200 y y'$ .

$206 y y' + 6 x = 200 x$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $6 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$206 y y' = 200 x - 6 x$

Bước 5.2.2

Trừ $6 x$ khỏi $200 x$ .

$206 y y' = 194 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $206 y y' = 194 x$ cho $206 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $206 y y' = 194 x$ cho $206 y$ .

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $206$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{194 x}{206 y}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $194$ và $206$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $194 x$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{206 y}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $206 y$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{97 x}{103 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{97 x}{103 y}$