Giải tích Ví dụ

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 5 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.5

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.7

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2.8

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

Bước 3.2.9

Cộng $6 x - 5$ và $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Bước 3.3.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ và có tổng là $b = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

Bước 3.3.2.1.2

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 2$ cộng $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

Bước 3.3.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

Bước 3.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

Bước 3.3.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

Bước 3.3.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x - 2$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Bước 3.3.3

Nhân $6 x - 5$ với $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$