Giải tích Ví dụ

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Bước 2

Vì $a$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $a$ đối với $z$ là $0$ .

$0$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Bước 3.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Kết hợp $y^{0.6}$ và $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Bước 3.2.2.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Bước 3.2.2.3

Kết hợp $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ và $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Bước 3.2.3

Vì $\frac{5}{x^{0.3}}$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ đối với $z$ là $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = y^{0.6}$ và $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Bước 3.4.2

Nhân $y^{0.6}$ với $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ là $f' (g (z)) g' (z)$ trong đó $f (z) = z^{0.6}$ và $g (z) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Bước 3.6

Di chuyển $0.6$ sang phía bên trái của $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Bước 3.7

Viết lại $\frac{d}{d z} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Bước 3.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Kết hợp $\frac{5}{x^{0.3}}$ và $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9.2.2

Kết hợp $0.6$ và $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9.2.3

Kết hợp $z$ và $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9.2.4

Di chuyển $0.6$ sang phía bên trái của $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Bước 3.9.2.5

Kết hợp $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ và $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Bước 3.9.2.6

Nhân $\frac{5}{x^{0.3}}$ với $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Bước 3.9.2.7

Nhân $0.6$ với $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Bước 3.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Bước 5.2

Trừ $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{0.3} y^{0.4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Bước 5.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{0.3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ vào tử số.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Bước 5.4.2.1.1.2

Đưa $x^{0.3}$ ra ngoài $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Bước 5.4.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Bước 5.4.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $y^{0.6}$ với $y^{0.4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.2.1

Di chuyển $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Bước 5.4.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Bước 5.4.2.1.2.3

Cộng $0.4$ và $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Bước 5.4.2.1.3

Rút gọn $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $3 z y' = - 5 y$ cho $3 z$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 z y' = - 5 y$ cho $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Đưa $1$ ra ngoài $- 5 y$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Bước 5.5.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.2.1

Đưa $1$ ra ngoài $3 z$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Bước 5.5.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Bước 5.5.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Bước 5.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$