Giải tích Ví dụ

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Bước 2

Đạo hàm của $x$ đối với $t$ là $x'$ .

$x'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{2} + 1$ và $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.3.4

Cộng $2 t$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.4

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.5

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Bước 3.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Bước 3.9.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Bước 3.10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Bước 3.10.2.2

Trừ $t^{2}$ khỏi $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Bước 3.10.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Bước 3.10.3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = t$ và $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Bước 5

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$