Giải tích Ví dụ

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Bước 1

Viết lại vế phải với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 u' - 9}$ ở dạng ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Bước 1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 1.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Bước 1.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Bước 3

Đạo hàm của $u$ đối với $u'$ là $u'$ .

$u'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ là $f' (g (u')) g' (u')$ trong đó $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ và $g (u') = 2 u' - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.5.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.6.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.6.3

Di chuyển ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Bước 4.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 u' - 9$ đối với $u'$ là $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Bước 4.8

Vì $2$ không đổi đối với $u'$ , nên đạo hàm của $2 u'$ đối với $u'$ là $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ là $n {u'}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Bước 4.10

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Bước 4.11

Vì $- 9$ là hằng số đối với $u'$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $u'$ là $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Bước 4.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Bước 4.12.2

Kết hợp $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ và $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 4.12.3

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 4.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Bước 4.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Bước 4.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 6

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$u' \approx 4.52650004$

Bước 7

Thay thế $u'$ bằng $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$