Giải tích Ví dụ

$r = \frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}})$

Bước 2

Đạo hàm của $r$ đối với $s$ là $r'$ .

$r'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{8}{3 s^{2}}$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 s^{3}}$ đối với $s$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{1}{s^{3}}$ ở dạng ${(s^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{- 1}$ và $g (s) = s^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $s^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $s^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.5

Nhân các số mũ trong ${(s^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{1}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.7

Nhân $s^{- 6}$ với $s^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Di chuyển $s^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.9

Kết hợp $\frac{- 3}{4}$ và $s^{- 4}$ .

$\frac{- 3 s^{- 4}}{4} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.10

Di chuyển $s^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{3 s^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{8}{3}$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $- \frac{8}{3 s^{2}}$ đối với $s$ là $- \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{s^{2}}$ ở dạng ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{- 1}$ và $g (s) = s^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $s^{2}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $s^{2}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- s^{- 4} (2 s))$

Bước 3.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{- 4} s)$

Bước 3.3.7

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4}))$

Bước 3.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{1 - 4})$

Bước 3.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{8}{3} (- 2 s^{- 3})$

Bước 3.3.10

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + 2 (\frac{8}{3}) s^{- 3}$

Bước 3.3.11

Kết hợp $2$ và $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{2 \cdot 8}{3} s^{- 3}$

Bước 3.3.12

Nhân $2$ với $8$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16}{3} s^{- 3}$

Bước 3.3.13

Kết hợp $\frac{16}{3}$ và $s^{- 3}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16 s^{- 3}}{3}$

Bước 3.3.14

Di chuyển $s^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{16}{3 s^{3}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = \frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$

Bước 5

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = \frac{16}{3 s^{3}} - \frac{3}{4 s^{4}}$