Giải tích Ví dụ

$s = {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Bước 2

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ và $g (t) = 6 t - t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $6 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.6.3

Di chuyển ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 t - t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 3.8

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $6 t$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 3.10

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Bước 3.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{2}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - (2 t))$

Bước 3.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$

Bước 3.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$ .

$(6 - 2 t) \frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.14.2

Nhân $6 - 2 t$ với $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.14.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 - 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{(2 (3) - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.14.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 t$ .

$\frac{(2 (3) + 2 (- t)) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.14.3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (- t)$ .

$\frac{2 (3 - t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.14.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$