Giải tích Ví dụ

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (r) + \cot (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [r]$ ở dạng $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = r x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = r$ và $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Bước 3.3.2

Nhân $r$ với $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [r]$ ở dạng $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5

Giải tìm $r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.2.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.2.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.1.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $r'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $x r' e^{r x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.3.3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Bước 5.4

Cộng $\csc^{2} (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Bước 5.5

Đưa $r'$ ra ngoài $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $r'$ ra ngoài $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Bước 5.5.2

Đưa $r'$ ra ngoài $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Bước 5.5.3

Đưa $r'$ ra ngoài $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Bước 5.6

Viết lại $- 1 \sin (r)$ ở dạng $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Bước 5.7

Chia mỗi số hạng trong $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ cho $- \sin (r) - x e^{r x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chia mỗi số hạng trong $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ cho $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.2.1.2

Chia $r'$ cho $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.1.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.3.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.3.1.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Bước 5.7.3.1.3

Nhân $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ với $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.2

Để viết $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.3.1

Nhân $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Bước 5.7.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Bước 5.7.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Bước 5.7.3.8

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.8.1

Viết lại $- (\sin (r) + x e^{r x})$ ở dạng $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Bước 5.7.3.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Bước 6

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$