Giải tích Ví dụ

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $r$ đối với $t$ là $r'$ .

$r'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ và $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 4.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 4.10

Nhân $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Bước 4.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.11.2

Di chuyển $t^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Nhân $t^{\frac{1}{3}}$ với $t^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1.1

Di chuyển $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 4.12.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Bước 4.12.1.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Bước 4.12.1.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Bước 4.12.2

Rút gọn $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Bước 6

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$