Giải tích Ví dụ

$r = \cos (x) \cot (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\cos (x) \cot (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $r$ đối với $x$ là $r'$ .

$r'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \cot (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Bước 3.4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Bước 3.4.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Bước 3.4.2.4

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

Bước 3.4.2.5

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.5.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

Bước 3.4.2.5.2

Viết lại $- \cot (x) \sin (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Bước 3.4.2.5.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

Bước 3.4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

Bước 3.4.3.2

Tách các phân số.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

Bước 3.4.3.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

Bước 3.4.3.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Bước 5

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$