Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{x^{6}}{6}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.2

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $x^{6}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{6}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.2.7.2.5

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{1}{36}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{6}}{36}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

Bước 3.3.3

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{36}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{- 6}{36}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $36$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

Bước 3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $6$ và $\frac{\ln (x)}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $\frac{6 \ln (x)}{6}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.4.2

Chia $\ln (x) x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.5

Để viết $\frac{1}{6} x^{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.6

Kết hợp $\frac{1}{6} x^{5}$ và $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.8

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.9

Kết hợp $\frac{x^{5}}{6}$ và $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.10

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.11.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

Bước 3.4.2.12

Trừ $x^{5}$ khỏi $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

Bước 3.4.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.1

Đưa $6$ ra ngoài $0$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

Bước 3.4.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

Bước 3.4.2.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\ln (x) x^{5} + 0$

Bước 3.4.2.14

Cộng $\ln (x) x^{5}$ và $0$ .

$\ln (x) x^{5}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (x) x^{5}$ .

$x^{5} \ln (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = x^{5} \ln (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$