Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 x}{1 - \cot (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{1 - \cot (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{1 - \cot (x)}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 - \cot (x)$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.2

Nhân $1 - \cot (x)$ với $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cot (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.3.7.2

Nhân $x$ với $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) - 4 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.4.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.4.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.6

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cot (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.10

Viết lại $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ ở dạng $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ .

$\frac{4 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 3.6.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$