Giải tích Ví dụ

$x \ln (y) + y^{3} = \ln (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (y) + y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $x$ và $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.7

Nhân $\ln (y)$ với $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, y, 1, x$

Bước 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Bước 5.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 5.1.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 5.1.5

BCNN của $1, 1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 5.1.6

Thừa số cho $y^{1}$ là chính nó $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ xảy ra $1$ lần.

Bước 5.1.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 5.1.8

BCNN của $y^{1}, x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y x$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ với $y x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ với $y x$ .

$3 y^{2} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Di chuyển $y$ .

$3 (y \cdot y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.1.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (y^{1} y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 y^{1 + 2} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{3} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 y^{3} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (y x)$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $y x$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Bước 5.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = y$

Bước 5.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y x \ln (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Bước 5.3.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $3 y^{3} y' x + y' x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y' x$ ra ngoài $3 y^{3} y' x$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x^{2}$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x = y - y x \ln (y)$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x$ .

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ cho $x (3 y^{3} + x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ cho $x (3 y^{3} + x)$ .

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{3} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Bước 5.3.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Bước 5.3.3.3.2

Để viết $- \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 5.3.3.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $x (3 y^{3} + x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.3.1

Nhân $\frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ với $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(3 y^{3} + x) x}$

Bước 5.3.3.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(3 y^{3} + x) x$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $y - y \ln (y) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.5.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.5.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.5.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (1 - 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.5.2

Viết lại $- 1 \ln (y)$ ở dạng $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 5.3.3.3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$ .

$y' = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$