Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (2 x)$ và $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.4.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.1.2

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.1.3

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (x) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.3.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.3.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và $\sin^{4} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Bước 3.8.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.3

Nhân $2 \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.4

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.6

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ và $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.2.2

Trừ $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ khỏi $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.5.2.3

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Bước 3.8.6

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 3.8.7

Tách các phân số.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.8.8

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Bước 3.8.9

Nhân với $1$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

Bước 3.8.10

Tách các phân số.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Bước 3.8.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

Bước 3.8.12

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$