Giải tích Ví dụ

$y = \ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$1 \frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.3

Nhân $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ với $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{2 x}$ và $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 + e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 \cdot ((1 + e^{2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.6.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.9

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.13.2

Nhân $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ với $\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Đưa $1 + e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Bước 3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Bước 3.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Bước 3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Bước 3.15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Bước 3.15.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4.1.2

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.1.2.1

Di chuyển $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x + 2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4.1.2.3

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.4.2.1

Trừ $2 e^{4 x}$ khỏi $2 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 0}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.4.2.2

Cộng $2 e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.5.1

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x} e^{2 x}}$

Bước 3.15.5.2

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x + 2 x}}$

Bước 3.15.5.2.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$