Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{x^{6}}{12}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.2

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{6} \ln (x)}{12}$ đối với $x$ là $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $x^{6}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{6}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.2.7.2.5

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{1}{72}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{6}}{72}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} (6 x^{5})$

Bước 3.3.3

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{72}) x^{5}$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{72}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{72} x^{5}$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{- 6}{72}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{72}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{72}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $72$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (12)}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 12}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{12}$

Bước 3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{1}{12} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x)}{12} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $6$ và $\frac{\ln (x)}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{12} x^{5} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $\frac{6 \ln (x)}{12}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \ln (x) x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x) x^{5}}{2} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.5

Để viết $\frac{1}{12} x^{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{1}{12} x^{5} \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.6

Kết hợp $\frac{1}{12} x^{5}$ và $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.8

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5}}{12} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.9

Kết hợp $\frac{x^{5}}{12}$ và $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 12}{12} - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.10

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 \cdot x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.11.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{x^{5} - x^{5}}{12}$

Bước 3.4.2.12

Trừ $x^{5}$ khỏi $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{12}$

Bước 3.4.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.1

Đưa $12$ ra ngoài $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 (0)}{12}$

Bước 3.4.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.13.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{1}$

Bước 3.4.2.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + 0$

Bước 3.4.2.14

Cộng $\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$ và $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$