Giải tích Ví dụ

$y = arccsc (e^{5 t})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccsc (e^{5 t}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = arccsc (t)$ và $g (t) = e^{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{5 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $arccsc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{5 t}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{{(e^{5 t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{5 t})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{5 t \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 5 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $e^{5 t}$ và $\frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 3.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 3.4.3

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} (5 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.4.4.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$\frac{- 5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \cdot 1$

Bước 3.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$