Giải tích Ví dụ

$3 x^{2} + 5 \ln (y) = 12$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 5 \ln (y)) = \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 5 \ln (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 \ln (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \ln (y)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$6 x + 5 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$6 x + 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$6 x + 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$6 x + 5 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 x + 5 (\frac{1}{y} y')$

Bước 2.3.4

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$6 x + 5 \frac{y'}{y}$

Bước 2.3.5

Kết hợp $5$ và $\frac{y'}{y}$ .

$6 x + \frac{5 y'}{y}$

Bước 3

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 x + \frac{5 y'}{y} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $6 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{5 y'}{y} = - 6 x$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{5 y'}{y} y = - 6 x y$

Bước 5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 y'}{y} y = - 6 x y$

Bước 5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$5 y' = - 6 x y$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $5 y' = - 6 x y$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $5 y' = - 6 x y$ cho $5$ .

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- 6 x y}{5}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- 6 x y}{5}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{5}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{6 x y}{5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x y}{5}$