Giải tích Ví dụ

$\cot (x y) + x y = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot (x y) + x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

Bước 2.3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Bước 5.2

Rút gọn $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Di chuyển $x y'$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.1.2

Sắp xếp lại $- x y' \csc^{2} (x y)$ và $x y'$ .

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.2

Đưa $- x y'$ ra ngoài $x y'$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $- x y'$ ra ngoài $- x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.4

Đưa $- x y'$ ra ngoài $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Bước 5.2.7

Sắp xếp lại $- y \csc^{2} (x y)$ và $y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Bước 5.2.8

Viết lại $y$ ở dạng $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Bước 5.2.9

Đưa $- y$ ra ngoài $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

Bước 5.2.10

Đưa $- y$ ra ngoài $- y \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

Bước 5.2.11

Đưa $- y$ ra ngoài $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

Bước 5.2.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

Bước 5.2.13

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

Bước 5.3

Cộng $y \cot^{2} (x y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ cho $- x \cot^{2} (x y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ cho $- x \cot^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cot^{2} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cot^{2} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Bước 5.4.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y}{- x}$

Bước 5.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$