Giải tích Ví dụ

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.14

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.15

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.15.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.15.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.15.4

Chia $0$ cho $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.16

Rút gọn $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Bước 4.18

Nhân $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ với $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 4.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 4.19.2

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 4.19.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Rút gọn $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2.2.1.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2.2.1.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Bước 6.2.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

Bước 6.2.2.1.2.2

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

Bước 6.2.2.1.2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$