Giải tích Ví dụ

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.8

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.9

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.9.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $- y^{2}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

Bước 2.2.1.12

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.12.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

Bước 2.2.1.12.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.2.3

Vì $x^{6}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $x^{6}$ đối với $a$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.2.5

Vì $- 3 x^{4}$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{4} y^{2}$ đối với $a$ là $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{2}$ và $g (a) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d a} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.6

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} y^{4}$ đối với $a$ là $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{4}$ và $g (a) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.8

Nhân $4$ với $3$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.9

Viết lại $\frac{d}{d a} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Bước 2.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $- y^{6}$ đối với $a$ là $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{6}$ và $g (a) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

Bước 2.11.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Bước 2.11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Bước 2.12

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Bước 2.13

Viết lại $\frac{d}{d a} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

Bước 2.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3 x^{2}$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $3 a^{4} x^{2}$ đối với $a$ là $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 x^{2} (4 a^{3})$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $4$ với $3$ .

$12 x^{2} a^{3}$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $12 x^{2} a^{3}$ .

$12 a^{3} x^{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$