Giải tích Ví dụ

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Bước 2.5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Bước 2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Bước 3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Bước 5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Bước 5.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ và có tổng là $b = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại $2$ ở dạng $- 3$ cộng $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Bước 5.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Bước 5.3.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Bước 5.3.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Bước 5.3.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Bước 5.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ cho $(y - 1) (3 y + 5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ cho $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 y + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$