Giải tích Ví dụ

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Bước 3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x y' + y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

Bước 5.2

Trừ $2 x \cos (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.3

Trừ $x y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.4.1.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.4.1.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.4.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.4.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ .

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.4

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.1.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ cho $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ cho $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3.4

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Bước 5.5.2.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

Bước 5.5.2.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

Bước 5.5.2.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

Bước 5.5.2.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Bước 5.5.2.3.10

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.10.1

Viết lại $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ ở dạng $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Bước 5.5.2.3.10.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$