Giải tích Ví dụ

$7^{x + y} = y^{\ln (7)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (7^{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{\ln (7)})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 7^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$7^{x + y} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$7^{x + y} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$ .

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\ln (7)}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\ln (7)}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \ln (7)$ .

$\ln (7) u^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$ .

$y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + 7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(7^{x + y} \cdot 1 + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.1.4

Nhân $7^{x + y}$ với $1$ .

$(7^{x + y} + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.1.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7)$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$

Bước 5.3

Trừ $\ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = 0$

Bước 5.4

Trừ $\ln (7) \cdot 7^{x + y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Bước 5.5

Đưa $y' \ln (7)$ ra ngoài $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $y' \ln (7)$ ra ngoài $- \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Bước 5.5.2

Đưa $y' \ln (7)$ ra ngoài $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1})$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Bước 5.6

Viết lại $- 1 y^{\ln (7) - 1}$ ở dạng $- y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Bước 5.7

Chia mỗi số hạng trong $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ cho $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ cho $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ .

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Bước 5.7.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 1 \cdot 7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Bước 5.7.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$