Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x + y$ và $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.6

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.7

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.1

Khai triển $(x - 5 y) (2 + y')$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.4

Khai triển $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.5.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.5.2

Nhân $- 5$ với $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.1.5.4

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.2.2

Cộng $x y' - 10 y - 5 y y'$ và $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.2.3

Cộng $- 5 y y'$ và $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.2.4

Cộng $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ và $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.3

Cộng $x y'$ và $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.2.4

Trừ $y$ khỏi $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.3

Đưa $11$ ra ngoài $11 x y' - 11 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Đưa $11$ ra ngoài $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.3.2

Đưa $11$ ra ngoài $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 2.8.3.3

Đưa $11$ ra ngoài $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho tử bằng không.

$11 (x y' - y) = 0$

Bước 5.2

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $11 (x y' - y) = 0$ cho $11$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $11 (x y' - y) = 0$ cho $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Bước 5.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Bước 5.2.1.2.1.2

Chia $x y' - y$ cho $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Bước 5.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Chia $0$ cho $11$ .

$x y' - y = 0$

Bước 5.2.2

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y' = y$

Bước 5.2.3

Chia mỗi số hạng trong $x y' = y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x y' = y$ cho $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Bước 5.2.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$