Giải tích Ví dụ

$y = \tan (\ln (a x + b))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (\tan (\ln (a x + b)))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $b$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ là $f' (g (b)) g' (b)$ trong đó $f (b) = \tan (b)$ và $g (b) = \ln (a x + b)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ là $f' (g (b)) g' (b)$ trong đó $f (b) = \ln (b)$ và $g (b) = a x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d b} [a x + b])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d b} [a x + b])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d b} [a x + b])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{a x + b}$ và $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d b} [a x + b]$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x + b$ đối với $b$ là $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b])$

Bước 3.3.3

Vì $a x$ là hằng số đối với $b$ , đạo hàm của $a x$ đối với $b$ là $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (0 + \frac{d}{d b} [b])$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d b} [b]$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ là $n b^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \cdot 1$

Bước 3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Bước 3.3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = \frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$