Giải tích Ví dụ

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

Bước 1

Nhân các số mũ trong ${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

Bước 1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (\frac{t}{7})$ .

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 \cos (\frac{t}{7})$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

Bước 4.2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = \frac{t}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Bước 4.4.2

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t}{7}$ đối với $t$ là $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

Bước 4.4.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $- 4$ .

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.3.2

Kết hợp $\frac{- 4}{7}$ và $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.3.3

Kết hợp $\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ và $\sin (\frac{t}{7})$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

Bước 4.4.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$