Giải tích Ví dụ

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + \sqrt{t}})$

Bước 1

Viết lại vế phải với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}})$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.10

Di chuyển ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.11

Kết hợp $\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.12

Kết hợp $\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ và $\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.13

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.15

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.16

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.17

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4.19

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.20

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.22.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 4.22.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 4.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Bước 4.24

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 4.25

Nhân $\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 4.26

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.26.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.26.2

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.27

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.28

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.29

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$