Giải tích Ví dụ

$y = t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $t$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$ .

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = \sin (π t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\sin (π t)] + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = π t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $π t$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$t (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π t$ .

$t (\cos (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.3

Vì $π$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $π t$ đối với $t$ là $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.6

Nhân $π$ với $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.2.7

Nhân $\sin (π t)$ với $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = π t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.3

Vì $π$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $π t$ đối với $t$ là $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.5

Nhân $π$ với $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) π) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.6

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{\sin (π t)}{π} π + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.7

Kết hợp $π$ và $\frac{\sin (π t)}{π}$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.3.8.2

Chia $\sin (π t)$ cho $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Bước 3.4

Vì $- \frac{1}{π}$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- \frac{1}{π}$ đối với $t$ là $0$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + 0$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Trừ $\sin (π t)$ khỏi $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + 0 + 0$

Bước 3.5.1.2

Cộng $t (\cos (π t) π)$ và $0$ .

$t (\cos (π t) π) + 0$

Bước 3.5.1.3

Cộng $t (\cos (π t) π)$ và $0$ .

$t (\cos (π t) π)$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $t (\cos (π t) π)$ .

$π t \cos (π t)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = π t \cos (π t)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π t \cos (π t)$